For the generalised diffusion equation with the potential of an harmonic ascillator, we obtain the exact real integral solution in a form similar to the existing Feynman integral solution.
Penyelesaian tepat berkamiran nyata diperoleh dalam bentuk yang serupa dengan penyelesaian kamiran Feynman yang sedia ada, bagi persamaan resapan teritlak berpotensi pengayun harmonik
Kuasa dua atau kuadrat modulus fungsi gelombang Schroedinger pengayun harmonik ringkas yang bersyarat awalnya taburan normal ditunjukkan memenuhi taburan normal dengan min dan varians yang berubah. Oleh itu kuasa dua modulus fungsi gelombang ini memenuhi persamaan resapan yang berpekali resapan malar yang berkadaran dengan pemalar Planck, berpekali hanyutan yang berkadaran dengan terbitan/derivatif fasa fungsi gelombang tersebut, dan bersumberkan kuantiti yang berkadaran dengan hasil tambah atau jumlah potensi klasik pengayun harmonik itu: satu sebutan kuadratik, dan ungkapan/ekspresi dalam sebutan terbitan pertama dan kedua fungsi gelombang. Modulus fungsi gelombang itu juga memenuhi persamaan resapan dengan pekali resapan dan hanyutan yang sama, tetapi dengan sumber yang berbeza dan lebih simpel. Hasil yang serupa berlaku untuk syarat awal yang berupa sembarang fungsi yang kuasa duanya terkamirkan. Hasil ini memberi cahaya baru ke atas tabii tafsiran kebarangkalian bagi kuasa dua fungsi gelombang kerana kini terserlah pula hubungannya secara langsung dengan satu proses stokastik: pembunuhan X sehingga
dX = a dt + b dB, dengan a diketahui sebagai pekali hanyutan dan b**2/2 diketahui sebagai pekali resapan, dan B ialah proses Wiener piawai.
It is shown that for an arbitrary simple harmonic oscillator, the square of the modulus of the corresponding Schroedinger’s wave function which is initially a normal distribution, is a normal distribution with variable mean and variance. Furthermore, the square of the modulus of the wave function satisfies a diffusion equation with a variable drift coefficient which depends on the derivative of the phase of the wave function, and a source which depends not only on the classical potential of the oscillator but also on the first and second derivatives of the phase of the wave function. The modulus of the wave function also satisfies a diffusion equation with the same diffusion and drift coefficients, but a different source. A similar result holds in terms of the corresponding phase of the harmonic ascilator with an arbitrary square integrable function as the initial condition. This gives a new light on the nature of the the probability interpretation of the modulus square of the wave function which is now directly related to a killing stochastic process X the killing X such that dX = adt + b dB, where a is a known drift coefficient, b2/2 is a known diffusion coefficient, and B is the standard Wiener process.
[Kuasa dua atau kuadrat modulus fungsi gelombang Schroedinger pengayun harmonik ringkas yang bersyarat awalnya taburan normal ditunjukkan memenuhi taburan normal dengan min dan varians yang berubah. Oleh itu kuasa dua modulus fungsi gelombang ini memenuhi persamaan resapan yang berpekali/berkoefisien resapan malar/konstan yang berkadaran dengan pemalar/konstan Planck, berpekali hanyutan/pergeseran yang berkadaran dengan terbitan/turunan derivatif fasa/fase fungsi gelombang tersebut, dan bersumberkan kuantiti/kuantitas yang berkadaran dengan hasil tambah atau jumlah potensi/potensial klasik pengayun harmonik itu, satu sebutan/suku kuadratik, dan ungkapan/ekspresi dalam sebutan terbitan pertama dan kedua fungsi gelombang. Modulus fungsi gelombang itu juga memenuhi persamaan resapan dengan pekali resapan dan hanyutan yang sama, tetapi dengan sumber yang berbeza dan lebih simpel. Hasil yang serupa berlaku untuk syarat awal yang berupa sembarang fungsi yang kuasa duanya/kuadratnya terkamirkan/terintegralkan. Hasil ini memberi cahaya baru ke atas tabii tafsiran/interpretasi kebarangkalian/peluang/ probabilitas bagi/daripada kuasa dua fungsi gelombang kerana kini terserlah pula hubungannya secara langsung dengan satu proses stokastik, pembunuhan X sehingga dX = a dt + b dB, dengan a diketahui sebagai pekali hanyutan dan b2/2 diketahui sebagai pekali resapan, dan B ialah proses Wiener piawai/baku/standar].